黄金分割是怎么证明的(黄金比例的证明方式是啥)?

在任意线段AB上，取点P，过点P作线段AB的垂线交AB于点C。再作一条经过点A的射线AD，使得AD=AC。同样地，在经过点B的射线BE上取一点F，使得BF=BC。连接CF、DF，它们的交点就是线段AB的黄金分割点Q。

证明如下：

首先，由于ADC是直角三角形，所以AD是CB的中线，即AD=AC=BC/2。同理，由于BFC是直角三角形，所以BF是AC的中线，即BF=BC/2=AD。因此，由AC=AD，BF=AD可知，三角形ADF与三角形BFC全等。

现在，我们来计算三角形CDF的面积。因为CDF与ADF全等，所以它们的底边长度相等，即CF=AF。又因为CDF与CFQ相似，所以我们有：

$frac{CF}{DF}=frac{CQ}{CF}$

即

$DF=frac{CF^2}{CQ}$

而因为ADF与BFC全等，所以AF=BF=BC/2，即CF=BC/2+AC=AB/2。又由于AC=AD=AB/4，所以BC=AB/2+AD=AB/2+AC=3AB/4。

因此，

$CF^2=AB^2/16$

$CQ=frac{AB}{2}-DF$

$=frac{AB}{2}-frac{AB^2}{16}cdotfrac{4}{AB^2+4AB+4}$ （代入上式）

$=frac{AB^2}{AB^2+4AB+4}cdotfrac{AB-2}{2}$

$=frac{(AB-2)^2}{AB^2+4AB+4}cdot AB/2$

现在，我们来计算CDF的面积。使用海伦公式可以得到：

$S_{CDF}=sqrt{s(s-CF)(s-DF)}$

其中，

$s=frac{CF+DF+CD}{2}=AB/2$

因为AB是单位长度，所以$s=1/2$。因此，

$S_{CDF}=sqrt{(1/2)(AB^2/16-DF)(1/2+DF)}$

$=sqrt{(AB^2/32-AB^4/16(AB^2+4AB+4))cdot(AB^2/32+AB^4/16(AB^2+4AB+4))}$

$=frac{1}{4}cdotfrac{AB^2}{AB^2+4AB+4}$

现在，我们来计算三角形ABF的面积。由于三角形BFC与ADF全等，所以三角形BFC的高等于三角形ADF的高。因此，

$S_{ABF}=frac{1}{2}cdot BFcdot CF$

$=frac{1}{2}cdotfrac{AB}{4}cdotfrac{AB}{2}$

$=frac{AB^2}{16}cdotfrac{1}{4}$

$=frac{AB^2}{64}$

最后，我们来计算三角形ABQ的面积。由于三角形BFC与ADF全等，所以三角形BFC的高等于三角形ADF的高。因此，

$S_{ABQ}=frac{1}{2}cdot BFcdot CQ$

$=(AB/4)cdot[(AB-2)^2/(AB^2+4AB+4)cdot AB/2]$

$=frac{AB^3-2AB^2}{8(AB^2+4AB+4)}$

现在我们来比较SABQ和SCDF：

$frac{S_{ABQ}}{S_{CDF}}=frac{(AB^3-2AB^2)/8}{AB^2/64}$

$=frac{AB}{8}-frac{1}{4}$

因为AB是单位长度，所以$frac{S_{ABQ}}{S_{CDF}}=frac{AB}{8}-frac{1}{4}=0.118034...$，而AB的长度与线段AB的长度相等，所以我们得到：

$AQ/AB=frac{sqrt{5}-1}{2}$

这就是黄金分割率的值。证毕。